lunedì 22 agosto 2011

PROPRIETA' POTENZE

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:

  • Il prodotto di due, o più potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
 a^n \cdot a^m = a^{n+m} \;
  • Il quoziente di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e l'esponente del divisore
 \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \;
  • La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:
 \left(a^n\right)^m = a^{n\cdot m} = \left(a^m\right)^n\;
  • il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:
a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \;
  • Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:
 \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \;

Notiamo che la definizione a0 = 1 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:

 \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1 \;

E lo stesso vale per la definizione di a k, infatti:

 a^{-x} = a^{0-x} = \frac{a^0}{a^x} = \frac{1}{a^x}  \;
consentendo all'esponente di essere un numero razionale \frac x y, con x e y primi tra loro, se si pone:
 a^{x \left/  y \right.} := \sqrt[y]{a^x}

In questo caso:

  • se y è pari, la potenza è definita per a positivo;
  • se y è dispari:
    • se x è positivo, la potenza è definita per qualsiasi a;
    • se x è negativo, la potenza è definita per qualsiasi a non nullo.
fonti: http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_%28matematica%29

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