------------------ CULTURA GENERALE ------------------: PROPRIETA' POTENZE

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:

Il prodotto di due, o più potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

$a^n \cdot a^m = a^{n+m} \;$

Il quoziente di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e l'esponente del divisore

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \;$

La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:

$\left(a^n\right)^m = a^{n\cdot m} = \left(a^m\right)^n\;$

il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \;$

Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \;$

Notiamo che la definizione $a 0 = 1$ risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:

$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1 \;$

E lo stesso vale per la definizione di $a - k$ , infatti:

$a^{-x} = a^{0-x} = \frac{a^0}{a^x} = \frac{1}{a^x} \;$

consentendo all'esponente di essere un numero razionale $\frac x y$ , con x e y primi tra loro, se si pone:

$a^{x \left/ y \right.} := \sqrt[y]{a^x}$

In questo caso:

se y è pari, la potenza è definita per a positivo;
se y è dispari:
- se x è positivo, la potenza è definita per qualsiasi a;
- se x è negativo, la potenza è definita per qualsiasi a non nullo.

fonti: http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_%28matematica%29

------------------ CULTURA GENERALE ------------------