INTEGRAZIONE

INTEGRALI PER PARTI

 

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

 

 INTEGRALI INDEFINITI FONDAMENTALI

FONTI:http://www.math.it/formulario/integrali.htm

Matematica: alcuni teoremi per la preparazione dell'esame universitario di matematica della facoltà di economia

PREMESSA

INTORNO

Un intorno di un punto x è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto x. Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a x si dice che vale "per ogni intorno di x".

Es. I_r(x) = (x-r, x+r)

PUNTO INTERNO

Dato A ⊂ R, diciamo che x ε R è un PUNTO INTERNO di A se esiste un intorno I(x) che contiene solo punti di A.

PUNTO ESTERNO

Diciamo che x ε R è un PUNTO ESTERNO di A se esiste un intorno I(x) che non contiene nessun punto di A.

PUNTO DI FRONTIERA

Diciamo che x ε R è PUNTO DI FRONTIERA di A se ogni intorno I(x) contiene sia punti di A che punti non in A.

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

I PUNTI DI ACCUMULAZIONE sono quelli interni a quelli di frontiera che non necessariamente appartengono all’insieme A.

TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS

Un insieme A ⊂ R infinito ( = infiniti punti) e limitato, ha almeno un punto di accumulazione.

CONTINUITA’

DEFINIZIONE: sia f: A ⊂ R à R una funzione, x₀ un punto di accumulazione di A, con x₀ ε A. Dire che f è continua nel punto x₀, se il limite di f in x₀ esiste finito e coincide con il valore f(x₀).

Lim    f(x)=f(x₀)

x-->x₀

Al contrario la funzione è discontinua se:

1)    Il limite non esiste o è finito;

2)    Il limite esiste finito ma non coincide con f(x₀)

TEOREMA: Sia f: A ⊂ R à R una funzione elementare e x₀ punto di accumulazione di A, con x₀ ε A. Allora f e continua in x₀. In altre parole tutte le funzioni elementari sono continue nel proprio dominio.

TEOREMA DI WEIERSTRASS [MASSIMI E MINIMI]

Sia f:A = [a, b] una funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato A = [a, b]. Allora esistono due punti x₁, x₂ ε A = [a, b] ( non necessariamente uniti) tali che:

f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂)       per ogni x=1

in altre parole la funzione f assume un minimo assoluto o globale minf(x₁) nel punto x_!, e un massimo assoluto o globale maxf(x₂)nel punto x₂.

Le conclusioni del teorema non sono valide se la funzione f non è continua o se il dominio non è chiuso e limitato.

DERIVABILITA’

lim                          f(x₀ + h) - f(x₀)

h-->0                                 h

RETTA TANGENTE E RETTA SECCANTE

Sia f: A ⊂ R à R una funzione derivabile a x₀ ε A punto interno.

Consideriamo due punti P (x₀, f(x₀) e Q (x₀ + h, f(x₀ + h). La retta tangente al grafico di f in P ha coefficiente angolare tanα e la retta seccante tanβ al grafico di f in Q.

Dove:

tanβ=  f(x₀ + h) - f(x₀)

h

tanα = lim tanβ =      lim tanβ=                f(x₀ + h) - f(x₀)

 h-->0               h-->0                                h

formula retta tangenta

y= f(x₀) + f^I(x₀) * (x – x₀)

formula retta seccante

y= f(x₀) +         f(x₀ + h) - f(x₀) * (x – x₀)

           h

TEOREMA DI ROLLE

In analisi matematica il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo chiuso , derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto e assume valori uguali , esiste almeno un punto interno ad la cui derivata si annulla, cioè (Punto critico o stazionario).

Teorema di Rolle: Se f(x) è continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ e f(a) = f(b), allora esiste, in questo caso, c appartenente ad ]a,b[ tale che f'(c) = 0.

TEOREMA DI TAYLOR

FORMULA DI TAYLOR

DEFINIZIONE Data una funzione f: A⊂R à R derivabile sul dominio A all’ordine n, definiamo il polinomio di taylor di ordine n centrando nel punto interno come x₀:

n

K=1

p_n(x₀) = f(x₀) +  Σ      f ^(K)(x₀) (x – x₀)^K

                              _____________

                                         K!

                       

ordine 1          p₁x =f(x₀) + f^I(x₀) * (x – x₀)

ordine 2          p₂x =f(x₀) + f^I(x₀) * (x – x₀) + f^II(x₀) * (x – x₀)²

   _____

       2

TEOREMA DI TAYLOR

Sia f: A⊂R à R derivabile fino all’ordine n +1 sul dominio A e x₀ ε A punto interno possiamo scrivere:

f(x) =pn(x) + En(x)                 dove En sta per errore

e l’errore è dato da:

En(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) * (x – x₀)ⁿ⁺¹

              ---------

                  n+1

TEOREMA DI LAGRANGE

Sia f:A = [a;b] à R una funzione continua nell’intervallo aperto (a;b). Allora esiste un punto intermedio c ε (a;b) tale che:

            f^Ic = f(b) – f(a)

b – a

Il coefficiente angolare della retta che passa per (a; f(a) e (b; f(b) è

tanβ = f^Ic =       f(b) – f(a)

       b – a

TEOREMA DI COUCHY

Siano f , g : A= [a;b] à R due funzioni continue in [a;b] e derivabili in (a;b)

Supponiamo che g^I(x)≠ 0        per ogni x ε [a;b]

Allora esiste un punto c ε(a;b) tale che:

f^Ic        =          f(b) – f(a)

g^Ic                   g(b) – g(a)

TEOREMA 

MODELLI DI LEONTEV

MODELLO APERTO

La quantita prodotta xi viene in parte impiegata come input nei settori produttivi

la formula finale è :

(I - A)x = c

           -     -

MODELLO CHIUSO

Tutte le quantità prodotte vengono rimpiegate nei vari settori prodotto

la formula finale è :

(A - I) x = 0

            -

TIPI DI FUNZIONI

Piccola premessa

Codominio = C = y

Dominio = D = x cioè f(x)

FUNZIONE COSTANTE

Una funzione f: AàB si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine

X =tot

FUNZIONE PARI

Una funzione di equazione y=f(x) e di D (dominio) si dice pari se per qualsiasi x ε D indica che f(-x) = f(x)

f(-x)=f(x) es. x²; x⁴; cos(x); ecc.

Geometricamente, una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse y.

FUNZIONE DISPARI

Una funzione si dice dispari quando per qualsiasi x ε D indica che f(-x)=-f(x)

f(-x) = -f(x) es. x; x³;sen(x) ecc.

Geometricamente, una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine degli assi, cioè i valori a destra dell'origine sono uguali a quelli a sinistra cambiati di segno.

FUNZIONE INIETTIVA

Se si scelgono due elementi x1 e x2 avremo sempre che x1≠x2 le proprie immagini sono diverse

x1≠x2 àf(x1)≠f(x2) es. y= x -2

FUNZIONE SURIETTIVA

Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio.

FUNZIONE BIUNIVOCA

Quando la funzione è sia iniettiva che suriettiva.

FUNZIONE COMPOSTA

Consideriamo le funzioni
g : A -> B
f : B -> C

chiameremo funzione composta l'applicazione da A a C
fog : A -> C
tale che
fog(x)= f(g(x))

Ciò significa che al posto della x nella prima funzione metti l'espressione della seconda funzione: esempio
f(x) = 2x² + 3
g(x) = sen x
al posto di x in f(x) metto sen x
fog(x)= 2(sen x)² + 3
fog(x)= 2sen²x + 3

FUNZIONE INVERSA

Una funzione si dice inversa di un'altra se si può ottenere la seconda funzione scambiando fra loro la x e la y e ricavando poi la y nella prima funzione.

REGOLE DI DERIVAZIONE

derivata di una somma di funzioni:

derivata di un prodotto:

derivata di un rapporto:

derivata di una funzione composta (funzione di funzione):

in particolare:

--->

---->

--->

--->

--->

derivata di una funzione composta esponenziale:

derivata di una funzione inversa: